1.2 삼각형의 닮음 조건

HOOK

두 삼각형의 닮음을 얼마나 적은 정보로 판단할 수 있을까?

Three conditions — each minimal, each sufficient.

1.1에서 우리는 닮음의 정의와 성질을 배웠습니다. 두 도형이 닮음이라면 — 모든 대응변의 비가 같고, 모든 대응각의 크기가 같아야 합니다. 변 3쌍 + 각 3쌍 = 총 6가지 정보가 일치해야 한다는 이야기죠.

그런데 실제 문제를 풀 때 6가지를 모두 확인하기는 번거롭습니다. 1학년에서 합동을 판별할 때 SSS · SAS · ASA 같은 짧은 조건만 확인했듯이, 닮음에서도 최소한의 정보로 닮음 여부를 판정하는 방법이 있습니다.

놀랍게도 단 3가지 조건 중 어느 하나만 만족하면 두 삼각형은 닮음입니다 — SSS·(세 변비), SAS·(두 변비+끼인각), 그리고 가장 놀라운 AA(두 각만!). 합동 조건과 비교하면 변 정보가 모두 비율로 바뀌고, AA는 변 정보가 아예 필요 없습니다.

SSS· · SAS· · AA — 단 하나만 만족하면 닮음

CORE CONCEPT

3가지 닮음 조건

Each condition is a direct extension of a congruence condition.

01 SSS · SIMILARITY

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다

두 삼각형에서 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 모두 같으면 두 삼각형은 닮음입니다. 합동의 SSS 조건에서 "길이가 같다"를 "길이의 비가 같다"로 확장한 것.

$\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k$
$\Rightarrow$ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$
Three side ratios all equal.

02 SAS · SIMILARITY

두 쌍의 대응변의 길이의 비 + 끼인각

두 삼각형에서 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같으면 두 삼각형은 닮음입니다. 합동의 SAS 조건에서 변의 길이를 비율로 바꾼 것.

$\dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c}$ 그리고 $\angle A = \angle A'$
$\Rightarrow$ $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
Two side ratios + included angle.

03 AA · SIMILARITY ★

두 쌍의 대응각의 크기가 같다 (변 정보 불필요!)

두 삼각형에서 두 쌍의 대응각의 크기가 같으면 두 삼각형은 닮음입니다. 놀랍게도 변에 대한 정보가 전혀 필요 없습니다. 세 번째 각은 $180°$에서 두 각을 빼면 자동으로 같으므로 — 사실상 "AAA" 조건의 첫 두 개만으로 충분합니다.

$\angle A = \angle A'$ 그리고 $\angle B = \angle B'$
$\Rightarrow$ $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$
Two angles → entire shape determined.

왜 AA만으로 충분한가? 두 각이 같으면 — 모양이 완전히 결정됩니다. 크기는 자유롭게 변할 수 있지만, 변의 비율은 자동으로 같아져 결국 닮음이 성립.

SUMMARY · 정리

3가지 조건 한눈에

① SSS·: 세 변의 비가 모두 같다
② SAS·: 두 변의 비 같고 + 끼인각 같음
③ AA: 두 각이 같다 (변 정보 불필요)

어느 하나라도 만족하면 닮음. 가장 적은 정보로 닮음을 보일 수 있는 조건은 AA(두 각만)입니다. 실전 문제에서 가장 자주 사용됩니다.

COMPARISON

합동 조건 vs 닮음 조건

Similarity conditions are obtained by replacing equal lengths with equal ratios.

합동 ↔ 닮음의 대응 관계

조건

합동 (Ⅴ단원)

닮음 (Ⅵ단원)

SSS

세 변의 길이가 같다

세 변의 길이의 비가 같다

SAS

두 변이 같고 끼인각 같음

두 변의 비가 같고 끼인각 같음

ASA / AA

한 변 같고 양 끝각 같음
(ASA — 변 필수)

두 각이 같음
(변 정보 불필요!)

💡 핵심 변화: 모든 "길이가 같다"가 "길이의 비가 같다"로 바뀐다. 그리고 ASA에서 변 조건이 사라져 AA가 된다 — 닮음에서는 크기를 자유롭게 늘릴 수 있으므로 변 정보가 필요 없다.

INTERACTIVE

닮음 조건 판별 연습

For each pair of triangles — identify which similarity condition applies.

SIMILARITY DETECTOR

다음 두 삼각형은 어떤 조건으로 닮음인가?

시나리오 1 · $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{BC} = 6$, $\angle B = 60°$. $\triangle DEF$에서 $\overline{DE} = 6$, $\overline{EF} = 9$, $\angle E = 60°$.

풀이: $\overline{AB} : \overline{DE} = 4:6 = 2:3$, $\overline{BC} : \overline{EF} = 6:9 = 2:3$. 두 변비 같고 끼인각 $\angle B = \angle E = 60°$ 같음 → SAS 닮음.

시나리오 2 · $\triangle ABC$에서 $\angle A = 70°$, $\angle B = 50°$. $\triangle DEF$에서 $\angle D = 70°$, $\angle F = 60°$.

풀이: $\triangle ABC$: $\angle C = 180° - 70° - 50° = 60°$. $\triangle DEF$: $\angle E = 180° - 70° - 60° = 50°$. 두 각 같음 ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$) → AA 닮음.

시나리오 3 · $\triangle ABC$의 세 변 $\overline{AB} = 6, \overline{BC} = 4, \overline{CA} = 8$. $\triangle DEF$의 세 변 $\overline{DE} = 9, \overline{EF} = 6, \overline{FD} = 12$.

풀이: $6:9 = 4:6 = 8:12 = 2:3$. 세 변의 비가 모두 같음 → SSS 닮음.

시나리오 4 · $\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 4$, $\overline{BC} = 6$, $\angle A = 60°$. $\triangle DEF$에서 $\overline{DE} = 6$, $\overline{EF} = 9$, $\angle D = 60°$.

풀이: $\overline{AB}:\overline{DE} = 4:6 = 2:3$, $\overline{BC}:\overline{EF} = 6:9 = 2:3$ ✓. 그러나 같은 각 $\angle A, \angle D$는 두 변의 끼인각이 아니다 ($\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 끼인각은 $\angle B$). SAS 조건 미충족, 닮음 보장 불가.

시나리오 5 · $\triangle ABC$에서 $\angle C = 90°$이고 $\angle A = 30°$. $\triangle DEF$에서 $\angle F = 90°$이고 $\angle D = 30°$.

풀이: 두 직각 + 두 같은 예각 → 두 쌍의 대응각이 같음 → AA 닮음. (모든 30-60-90 직각삼각형은 서로 닮음.)

QUICK CHECK

개념 확인 5

Five checks on the three similarity conditions.

Q · 01

두 삼각형의 닮음을 판정하는 조건은 모두 몇 가지인가?

풀이: SSS·, SAS·, AA — 모두 3가지.

Q · 02

두 각이 같으면 두 삼각형이 닮음이 된다는 조건은?

풀이: AA (Angle-Angle) — 변 정보 없이 두 각만으로 닮음.

Q · 03

합동 조건과 닮음 조건의 가장 큰 차이는?

풀이: 모든 길이 조건이 비율 조건으로 바뀐다. 합동의 SSS → 닮음의 SSS·.

Q · 04

두 삼각형에서 두 변의 비가 같고 끼인각이 아닌 다른 각이 같다. 이 두 삼각형은 반드시 닮음인가?

풀이: SAS·의 핵심은 끼인각. 끼인각이 아닌 각이 같으면 SSA에 해당 → 일반적으로 닮음 보장 안 됨.

Q · 05

$\triangle ABC$의 세 변이 $3, 4, 5$이고 $\triangle DEF$의 세 변이 $6, 8, 10$이다. 두 삼각형은 닮음인가?

풀이: $3:6 = 4:8 = 5:10 = 1:2$. 세 변의 비가 모두 같음 → SSS 닮음.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Identifying the right similarity condition.

EXAMPLE · 01

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 4, \overline{BC} = 6, \angle B = 60°$이고, $\triangle DEF$에서 $\overline{DE} = 6, \overline{EF} = 9, \angle E = 60°$이다. 두 삼각형이 닮음임을 보이고 닮음비를 구하라.

핵심: 두 변의 비 + 끼인각 → SAS 닮음.

STEP 1 · 두 변비 확인

$\overline{AB} : \overline{DE} = 4 : 6 = 2 : 3$. $\overline{BC} : \overline{EF} = 6 : 9 = 2 : 3$. 두 변의 비가 같다.

STEP 2 · 끼인각 확인

$\overline{AB}$와 $\overline{BC}$의 끼인각은 $\angle B$. $\overline{DE}$와 $\overline{EF}$의 끼인각은 $\angle E$. $\angle B = \angle E = 60°$ 같다.

STEP 3 · 결론

SAS 닮음에 의해 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. 닮음비 $= 2 : 3$.

답: SAS 닮음, 닮음비 $= 2 : 3$

EXAMPLE · 02

$\triangle ABC \sim \triangle ADE$이고 점 $D$는 $\overline{AB}$ 위, 점 $E$는 $\overline{AC}$ 위에 있다. $\overline{AB} = 10$, $\overline{AD} = 4$, $\overline{AC} = 15$일 때 $\overline{AE}$의 길이를 구하라.

핵심: $\triangle ABC$와 $\triangle ADE$가 닮음이라는 사실에서 대응변의 비가 일정함을 이용.

STEP 1 · 대응 관계 파악

$\triangle ABC \sim \triangle ADE$의 대응: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow E$. 따라서 대응변은 $\overline{AB} \leftrightarrow \overline{AD}$, $\overline{AC} \leftrightarrow \overline{AE}$, $\overline{BC} \leftrightarrow \overline{DE}$.

STEP 2 · 닮음비

$\overline{AB} : \overline{AD} = 10 : 4 = 5 : 2$. 따라서 큰 삼각형 : 작은 삼각형 $= 5 : 2$.

STEP 3 · $\overline{AE}$ 계산

$\overline{AC} : \overline{AE} = 5 : 2$이므로 $15 : \overline{AE} = 5 : 2$ → $\overline{AE} = \dfrac{15 \times 2}{5} = 6$.

답: $\overline{AE} = 6$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

두 삼각형의 닮음을 판정하는 조건은 모두 몇 가지인가?

힌트: SSS·, SAS·, AA를 세어 보세요.

P · 02★

두 쌍의 대응각이 같으면 두 삼각형은 닮음이다. 이 조건의 이름은? (영어 두 글자)

힌트: Angle-Angle.

P · 03★

합동의 SSS와 닮음의 SSS의 차이점을 한 단어로 표현하면? ("길이의 ___")

힌트: 합동은 "길이가 같다", 닮음은 "길이의 ___가 같다".

P · 04★★

$\triangle ABC$의 세 변 $6, 4, 8$. $\triangle DEF$의 세 변 $9, 6, 12$. 두 삼각형이 닮음임을 보이는 조건은? (SSS / SAS / AA 중)

힌트: $6:9 = 4:6 = 8:12$를 확인. 세 변 모두 같은 비.

P · 05★★

$\triangle ABC$에서 $\angle A = 40°, \angle B = 80°$. $\triangle DEF$에서 $\angle D = 40°, \angle E = 80°$. 두 삼각형의 닮음 조건은? (SSS / SAS / AA)

힌트: 두 각이 같음 → ?

P · 06★★

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB} = 3, \overline{BC} = 4, \angle B = 90°$. $\triangle DEF$에서 $\overline{DE} = 6, \overline{EF} = 8, \angle E = 90°$. 닮음비는? (예: 1:2)

힌트: $\overline{AB}:\overline{DE} = 3:6$, $\overline{BC}:\overline{EF} = 4:8$. 같은 비? SAS 닮음 확인.

P · 07★★★

$\triangle ABC$에서 $\angle A = 60°$이다. $\triangle DEF$에서 $\angle D = 60°$일 때, 두 삼각형이 닮음이 되기 위해 추가로 필요한 가장 적은 정보는? (예: 다른 한 각도 같음)

힌트: AA 조건 — 두 각이 같으면 닮음.

P · 08★★★

힌트: 닮음비 $\overline{AB}:\overline{AD} = 10:4 = 5:2$. $\overline{AC}:\overline{AE} = 5:2$로 비례식.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

두 삼각형이 닮음인지 판정하는 세 가지 조건 — SSS·(세 변비) · SAS·(두 변비+끼인각) · AA(두 각). 가장 강력한 것은 변 정보 없이 두 각만으로 충분한 AA 조건. 합동 조건에서 "길이"가 "비"로 바뀐 자연스러운 확장.

SSS · 세 변비 SAS · 두 변비+끼인각 AA · 두 각 변 → 비 확장